Остатки и делимость по модулю степеней тройки

Мы знаем, что у числа остаток от деления на совпадает с остатком от деления на 9 для его суммы цифр, т.е. число сравнимо со своей суммой цифр по модулю 9. Пусть — сумма цифр числа Тогда то же самое справедливо и для числа оно сравнимо со своей суммой цифр по модулю Таким образом, получившееся в итоге число будет сравнимо по модулю 9 с

Поймем какой остаток дает при делении на Заметим

В силу цикличности, нечетные степени дают остаток

Т.к. итоговое число состоит из одной цифры и дает остаток при делении на это число —