Остатки и делимость по модулю степеней тройки

Вспомним признак равноостаточности при делении на 9: число дает при делении на 9 такой же остаток, что и его сумма цифр. Отсюда следует, что после первого же действия мы из исходного числа вычтем другое число, которое дает такой же остаток при делении на 9, что и исходное. Поэтому новое число будет делиться на 9.

Далее, мы из числа, делящегося на 9, будем вычитать сумму его цифр, которая также по признаку делимости делится на 9. Таким образом, число на доске после первого действия и до самого конца будет делиться на 9. Значит, и появившееся однозначное ненулевое число делится на 9. Такое число всего одно — это само число 9. Поэтому именно оно и будет написано на доске, когда Дмитрий Алексеевич перестанет заниматься своим бесполезным делом.