Остатки и делимость по модулю степеней тройки
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Экстравагантный миллиардер Единицын решил тратить на поддержку образования каждый год одну и ту же сумму денег, равную 
рублей. При этом все цифры числа 
равны 
а) В первый год к нему обратились 
университета, и он смог разделить эту сумму между ними поровну. Во второй год к нему
обратилось уже 
университетов, и Единицын также смог разделить деньги между ними поровну. Какую сумму тратил миллиардер на
поддержку образования каждый год?
б) Если предположить, что денег у Единицына неограниченно, то смог бы он выделить такую сумму 
чтобы её можно было разделить
поровну между 
университетами?
Пункт а, подсказка 1
Какой щедрый миллиардер! Что мы можем сказать про сумму, которую он ежегодно тратит на поддержку университетов, если её можно поровну поделить и на 3, и на 9?
Пункт а, подсказка 2
Верно, эта сумма делится на 9. Подумайте, когда число, состоящее из единиц, кратно девяти.
Пункт а, подсказка 3
Тут надо вспомнить признак делимости на девять: число кратно девяти, если сумма его цифр кратна девяти. А чему равна сумма цифр нашего числа?
Пункт а, подсказка 4
Число N состоит из одних единиц, следовательно, сумма его цифр равна количеству этих цифр!
Пункт б, подсказка 1
Сложно найти число, делящееся на 43, в бесконечной последовательности чисел 1, 11, 111, 1111... Не делить же каждое из них на 43 по очереди, и в целом рассмотрение каждого числа по отдельности ничего нам не даст. Попробуйте посмотреть на какие-нибудь пары этих чисел, некоторым образом связанные по модулю 43.
Пункт б, подсказка 2
Есть ли среди чисел, состоящих из одних единиц, те, что имеют одинаковый остаток по модулю 43?
Пункт б, подсказка 3
Есть! Ведь чисел бесконечно много, а вариантов для остатка всего 43. Тогда рассмотрим два числа из последовательности, имеющие одинаковые остатки при делении на 43. Подумайте, что можно сказать про разность таких чисел? Какой вид она имеет?
Пункт б, подсказка 4
Конечно, она делится на 43. Супер, мы нашли число, кратное 43. Но ведь оно не имеет нужный вид... А какой вид оно вообще имеет?
Пункт б, подсказка 5
На самом деле это число имеет вид 11..10..0. То есть является произведением какого-то числа Х из нашей последовательности и степени десятки. А делится ли Х на 43?
a) Заметим, что подходят только числа 
, содержащие 
единиц, чтобы была делимость на 
и 
. То есть подходят
б) Да, смог бы. Рассмотрим числа вида 
Их бесконечно много, поэтому остатки от деления на 
где-то повторятся. Тогда
разность большего и меньшего этих двух чисел имеет вид 
, и она делится на 
. И так как 
не делится на
, то и 
делится на 
и имеет вид 
а) 
б) да
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
