Остатки и делимость по модулю 11

Поскольку , а данное в условии число уже оканчивается на , то достаточно добиться делимости на и на . Рассмотрим два случая:

• Пусть мы меняем нули на позициях одной чётности. Тогда сумма поставленных нами ненулевых цифр точно не меньше и не больше , а при этом должна быть кратна , поскольку остальные цифры в знакопеременную сумму дают . Отсюда сумма поставленных нами цифр в точности должна быть равна , причём тогда сумма всех цифр будет равна и кратна . Тогда и число будет делиться на . Способов выбрать две позиции одной чётности с учётом порядка (потому что мы будем ставить разные цифры, ведь не делится пополам, а при постановке разных цифр нам уже важно, в каком они стоят порядке: получаются разные числа) будет (первая позиция любая, а вторая из оставшихся позиций той же чётности номера), умножая это на количество разбиений числа в сумму двух цифр уже без учёта порядка (), имеем способов.
• Теперь рассмотрим позиции разной чётности. Теперь из признака делимости на поставленные нами две цифры должны быть равны (чтобы знакочередующаяся сумма цифр давала ноль и делилась на ), а сумма цифр полученного числа будет равна , где , и должна делиться на , отсюда подойдёт только . Осталось выбрать две позиции разной чётности без учёта порядка (ведь мы ставим одинаковые цифры и числа получаются одинаковые, хоть мы поставим , хоть ) способами (первая позиция любая, а вторая любая из позиций с номерами другой чётности).

В качестве ответа имеем .