Остатки и делимость по модулю 11
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Вовочка придумал два натуральных числа, заменил их цифры буквами (в каждом числе одинаковые цифры — одинаковыми буквами, а разные цифры — разными буквами) и получил слова МАТЕМАТИКААКИТАМЕТАМ, НАХОДЧИВЫЙ. Катя утверждает, что оба числа будут составными. Права ли Катя?
Подсказка 1
Сначала посмотрим на первое слово. Сразу можно заметить, что оно симметричное. Значит, сумма цифр левой части равна сумме цифр правой части. Тогда какой признак делимости удобно использовать?
Подсказка 2
Да, верно! Признак делимости на 11. Ведь знакопеременная сумма цифр числа равна 0. Теперь посмотрим на второе слово. Кажется, что в нём довольно много различных букв. Но ведь различных цифр не так уж много.
Подсказка 3
Отлично! Мы получили, что во втором слове встречаются все цифры по одному разу. Про порядок цифр в числе мы ничего не знаем. Зато точно можем определить, чему равна сумма цифр числа. Когда мы говорим о сумме цифр, о каких признаках делимости сразу вспоминаем?
На этом примере мы вспомним два признака делимости: на 11 и на 9. Для первого слова сразу видно, что вторая его часть получена из первой “переворотом”. Применим признак делимости на 11: число делится на 11 тогда и только тогда, когда знакопеременная сумма его цифр делится на 11. В нашем случае знакопеременная сумма равна
(Помним, что в знакопеременной сумме последняя цифра идёт со знаком “
”, а дальше знаки чередуются.) Итак, это число в любом
случае поделится на 11, и так как оно больше 11 — будет составным.
Про второе число его важное свойство менее заметно. Но догадаться можно, просто перебирая признаки делимости: ведь мы не верим, что это число будет обязательно делиться на 2 или на 5? Значит, надо думать про делимость на 3 или на 9. И тут мы видим, что все буквы в слове НАХОДЧИВЫЙ различны! Значит, как бы мы ни заменяли буквы цифрами, у нас получится число, в котором по разу встречаются все цифры от 0 до 9, и сумма цифр этого числа будет равна 45. Таким образом, число будет делиться на 9.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
