Остатки и делимость по модулю 11

Обозначим через и сумму цифр, стоящих на чётных и нечётных местах соответственно. Из признаков делимости на 9 и на 11 следует, что кратно 9, а кратно 11. Но все цифры чётные, поэтому делится на 18, а — на 22. Также заметим, что . Если , то . Но из этого следует, что , чего не может быть в силу чётности и . Если , то в нашем числе будет не менее 7 цифр, поскольку 8·6 = 48 < 54. Пусть . Тогда или . В первом случае одно из чисел и равно 29, а другое – 7, чего не может быть. Во втором случае . Заметим, что 18 нельзя представить в виде суммы менее чем трёх чётных цифр, поэтому наше число хотя бы шестизначное. Осталось заметить, что наименьшее шестизначное число, удовлетворяющее условиям задачи, — это 228888. Действительно, первая цифра не может быть меньше 2, вторая — тоже, поскольку если она равна 0, то общая сумма цифр не больше .