Остатки и делимость по модулю 11

Рассмотрим некоторое четырехзначное число без цифр 0 и 9 в десятичной записи. Пусть оно равно . Рассмотрим число . Заметим, что сумма этих двух чисел делится на 101. Оба эти числа четырехзначные и не содержат цифр 0 и 9 в десятичной записи. Таким образом некоторые числа разбились на пары, а некоторое перешли сами в себя. Но любое число, которое перешло само в себя имеет вид , то есть делится на 101. Мы разбили все числа на группы, в каждой из которых сумма делится на 101, но тогда и вся сумма делится на 101.