Остатки и делимость по модулю 11

Обозначим цифры, выписываемые игроками, последовательно через цифры с нечётными номерами выписывает первый, а с чётными — второй. Рассмотрим остатки от деления на знакопеременных сумм

Согласно признаку делимости на после го хода на доске возникнет число, кратное тогда и только тогда, когда совпадает с одним из Расположим эти остатки по кругу по часовой стрелке от до и изобразим последовательность ходов как процесс перемещения по кругу по неповторяющимся остаткам При этом первый игрок м ходом "прибавляет"к любое число от до а второй — любое число от до Таким образом, кроме повтора уже встречавшегося остатка, первому игроку запрещён ход против часовой стрелки на а второму — ход по часовой стрелке на После го хода свободными останутся остатков. Игрок гарантированно может сделать ход, если есть хотя бы два свободных остатка, значит, первые восемь ходов игроки сделать смогут, а й ход сделать нельзя никогда.

Рассмотрим ситуацию после седьмого хода (это ход первого), когда свободны остатка. Разберём три случая.

Свободные остатки расположены подряд: Тогда второй выписывает число с остатком (занимает остаток ), первый — а второй и выигрывает.

Остатки расположены так: два рядом — и один отдельно — Тогда второй занимает один из остатков далее либо первый занимает остаток второй — и выигрывает, либо первый занимает а второй — один из оставшихся и выигрывает.

Никакие два остатка не стоят рядом: Тогда второй может занять один из них и после хода первого, второй может занять последний свободный остаток и выиграть.