Остатки и делимость по модулю 11
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Запись числа 
заканчивается цифрой 3. Если же последнюю цифру переставить в начало, то получится число, на 27 больше 
. Найдите
, если известно, что оно делится на 99, или докажите, что такого числа не существует.
Источники:
Подсказка 1
Пусть в записи числа A участвуют k+1 цифр. Тогда можно составить уравнение.
Подсказка 2
Пусть x это k значное число. Тогда, изначально A = 10x + 3. Измененное число тоже можно записать через x. Тогда можно получить уравнение на x.
Подсказка 3
Из уравнения мы получили решение. Осталось только проверить, что A делится на 99 = 9*11. Вспоминаем признак делимости на 11, рассматриваем разные случаи для k и добиваем задачу.
Пусть 
имеет в своей записи 
цифру, тогда
где 
— это какое-то 
-значное число. Значит, после перестановки 3 в начало мы получим число
По условию 
получаем равенство
Следовательно, можем понять как выглядит 
По условию 
должно делиться на 99, а следовательно оно делиться на 11. Значит, по признаку делимости на 11, знакопеременная
сумма цифр числа 
должна делиться на 11. Но видно из его записи, когда 
чётно, то знакопеременная сумма равна 3, когда 
нечётно, то знакопеременная сумма равна 6. Следовательно, на 11 
делиться не может.
В итоге делаем вывод, что чисел, подходящих под условия задачи, не существует.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
