Базовый аппарат сравнений по модулю
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Коля выписал каждый натуральный делитель числа 
по одному разу, после чего покрасил некоторые из них в красный цвет, а
остальные — в синий. При этом он действовал так, чтобы разность между суммой всех красных делителей и суммой всех синих делителей
оказалась минимально возможным (при данном 
) положительным числом. Какими могут оказаться две последние цифры этой разности?
(Найдите все варианты и докажите, что других нет.)
Источники:
Подсказка 1
Разложите 2025 на простые множители. Как выглядит сумма всех его делителей? Почему максимальный делитель 2025ⁿ больше суммы остальных? Сумма делителей растёт медленнее, чем само число, из-за степеней в разложении.
Подсказка 2
Чтобы разность сумм красных и синих делителей была минимальной положительной, как нужно раскрасить делители? Что произойдёт, если покрасить только 2025 в красный, а остальные — в синий? Разность будет 2 × 2025ⁿ.
Подсказка 3
Докажите, что искомая разность = 70n + 81 (mod 100). Какие остатки при делении на 100 могут быть у 70n + 81 при разных n? Переберите n от 1 до 20. Остатки будут циклически повторяться!
Если 
разность равна 
Пусть 
Сумма всех делителей числа 2025 равна
По формуле суммы геометрической прогрессии, сумма делителей меньше, чем
Значит, максимальный делитель (само число 
превосходит сумму остальных, поэтому для получения минимального
положительного результата перед ним должен стоять плюс, а перед остальными делителями — минус. Получается, что ответ имеет вид
Заметим, что разность больше 
то есть по крайней мере
двузначная.
1, 09, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
