Базовый аппарат сравнений по модулю
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Назовем натуральное число 
новогодним, если число 
делится на 
Докажите, что среди чисел 
чётное
число новогодних чисел.
Источники:
Подсказка 1
Если мы сразу не можем понять, почему требуемое выполнено и у нас есть некоторая сумма/последовательность , то можно попытаться красиво разбить на пары и посмотреть, как связаны два этих элемента. К тому же в задаче, где просят доказать что-то про четность кол-ва элементов с нужным свойством, зачастую требуется каждому числу, которое удовлетворяет условию сопоставить число, которое также удовлетворяет ему. Что и предлагаю вам сделать!
Подсказка 2
Верно, мы можем разбить опять на пары вида k и 2019 - k. Основной наш вопрос в этой задаче - остаток по модулю 2019. Чему он равен у 2019 - k?
Подсказка 3
Конечно, он равен (2019 - k) ^ 12 = k ^ 12(mod 2019), так как все остальные члены при разложении через бином Ньютона, будут кратны 2019. А значит, если число k подходило, то и число 2019 - k подойдет. Значит, таких чисел четное количество.
Разобьём все числа 
на пары вида 
и 
Найдём остаток от деления числа 
на 
получим:
Таким образом, остатки от деления на 
в каждой паре совпадают. Значит, количество новогодних чисел чётно.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
