Малая теорема Ферма

Предположим противное: пусть существуют натуральные числа удовлетворяющие уравнению

Рассмотрим случаи, когда одно из чисел равно

Пусть Тогда Так как то Следовательно,

что невозможно. Аналогично для

Пусть Тогда

так как

Теперь и – простое, значит, не делятся на По малой теореме Ферма:

Подставляя в исходное уравнение, получаем:

Так как то Возможны два случая:

• 
• 

а) Пусть

Тогда По биному Ньютона:

так как все дополнительные слагаемые положительны при и

б) Пусть

Обозначим тогда Уравнение принимает вид:

При фиксированном минимум достигается при и тогда

Рассмотрим убывающую при функцию

Так как функция убывает, то

что завершает доказательство.