Малая теорема Ферма

Без ограничения общности будем считать, что взаимно просты, по малой теореме Ферма а значит существует некоторый остаток такой, что и В силу того, что либо либо и тогда При этом

Если можно взять два последовательных натуральных числа числа и У числа — наибольший простой делитель а у числа наибольший простой делитель равен ( — наибольшие простые делители, иначе бы числа были бы больше соответственно).

Если же то возьмем последовательные натуральные числа Тогда у числа — опять-таки наибольший простой делитель, а у числа наибольший простой делитель равен иначе бы то есть что не выполняется.

Следовательно, существуют такие два последовательных натуральных числа, что у одного из них наибольший простой делитель равен а у другого —