Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

(a) Перепишем уравнение в виде:

Заметим, что правая часть уравнения делится на 4, а, значит, левая тоже должна делиться на 4, то есть кратно 4. Рассмотрим таблицу остатков по модулю 4:

Таким образом, в любом случае не может делится на 4, а, значит, уравнение не имеет решений в целых числах.

(b) Заметим, что числа и имеют одинаковый осток по модулю 7, так как их разность делится на 7. Рассмотрим возможные остатки этих чисел по модулю 7:

Из таблиц мы видим, что числа и могут давать одинаковый остаток при делении на 7, только если они оба делятся на 7. Но если делится на 7, то делится на 7, а, значит, делится на 7, откуда делится на 49. Аналогично, должно делиться на 49. Отсюда разность кратна 49, что неверно. Получается, решений нет.