Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Предположим противное. Тогда существуют обнадеживающих чисел, которые представляются в виде при всех произведение которых суть квадрат некоторого натурального числа

Если при некотором верно, что то мы можем перейти к новому набору обнадеживающих чисел, в котором -ое будет представлено в виде

а произведение будет равно квадрату числа Тем самым, не более, чем через шагов, мы придем к набору, в котором никакое обнадеживающее число не удовлетворяет

Назовем первой компонентой числа Пусть среди полученного набора ровно обнадеживающих чисел таковы, что их первая компонента кратна тогда каждое из них кратно и число имеет вид и не кратно следовательно, четно. Поделим каждое такое обнадёживающее число на тогда их произведение по прежнему будет равно квадрату натурального числа.

Осталось рассмотреть полученное равенство по модулю Для произвольного совершенного числа в котором не кратно верно, что

а те, что были поделены имеют вид и

следовательно, их произведение сравнимо с по модулю что невозможно, поскольку оно же является квадратом натурального числа.