Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все трехзначные числа 
такие, что остаток от деления, как числа 
так и числа 
на сумму своих цифр, увеличенную
на 1, равен 1.
Подсказка 1:
По условию числа 100a+10b+c-1 и 100c+10b+a-1 кратны a+b+c+1. Самый естественный ход в данном случае — рассмотреть их разность.
Подсказка 2:
Она равна 99(a-c). Сразу бросается в глаза, что a-c по модулю меньше a+b+c+1. Значит, было бы здорово сначала рассмотреть случаи, когда a+b+c+1 имеют с 99 НОД больше 1.
Подсказка 3:
Давайте заметим, что a+b+c сравнимо с -1 по модулю a+b+c+1. Значит, 100a+10b+c-1 сравнимо с 99a+9b-2 по модулю a+b+c+1. Так что там по итогу можно сказать про делимость a+b+c+1 на 9?
Подсказка 4:
Кажется, выражение 99a+9b-2 и делимость на 11 поможет опровергнуть.
Подсказка 5:
Итак, вы пришли к тому, что a-c кратно a+b+c+1. Это возможно только при a = c. Кстати, почему? Осталось сделать небольшой перебор, чтобы получить ответ.
Пусть 
Итак, 
кратно 
Также 
кратно 
Значит,
также кратно 
Учитывая, что
получаем, что
Из этого следует, что 
и 
взаимно просты, иначе 
не будет делиться на 
Значит, делимость 
на 
равносильна делимости 
на 
Рассмотрим случаи, когда 
кратно 
и когда не кратно. Если кратно, то тогда и 
делится на 
Значит,
Осталось заметить, что тогда и
также делится на 
Значит, 
кратно 
а этого не может быть, потому что 
— цифра.
Значит, 
кратно 
Ясно, что 
Таким образом, 
Следовательно, 
делится на 
Отсюда получаем делимость
на 
Разберем несколько случаев.
Если 
то 
кратно 
откуда 
Если 
то 
кратно 
это невозможно.
Если 
то 
кратно 
откуда 
Если 
то 
кратно 
, это невозможно.
Если 
то 
кратно 
это невозможно.
Если 
то 
кратно 
откуда 
Если 
то 
кратно 
это невозможно.
Если 
то 
кратно 
это невозможно.
Если 
то 
кратно 
это невозможно.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
