Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Первое решение. Заметим, что число делится на , поэтому из уравнения следует, что должно делиться на . Значит, число должно давать остаток при делении на . Но куб целого числа может давать остатки только при делении на (доказать можно просто перебором остатков для от до ), поэтому число может давать остатки только и не может давать остаток . Значит, уравнение не имеет решений в целых числах.

Второе решение. Рассмотрим какие остатки дают числа вида при делении на . Заметим, что (отсюда легко найти и остаток от деления на ), поэтому достаточно взять только остатки от до , поскольку остальные им противоположны (а при возведении в квадрат минус исчезает и получаются те же остатки):

0	0	0
1	1	8
2	4	13
3	9	15
4	16	14
5	6	10
6	17	3
7	11	12
8	7	18
9	5	2

Из условия , а такого в таблице нет.