Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение
Подсказка 1
Можно попробовать написать какие-то оценки, но, кажется, сразу это не сработает. Давайте применим арифметику остатков и вспомним, что по модулю 16 у числа x⁴ существует всего 2 вида остатков...
Подсказка 2
2017 дает остаток 1 при делении на 16, а x⁴ дает остаток 0 или 1. Поэтому ровно одно из чисел xₙ нечетно. Для определенности пока будем считать, что это именно x₁₃. Каким может быть x₁₃?
Подсказка 3
Верно, x₁₃<7. Поэтому нам остается проверить только x₁₃=1,3 и 5. Используя остатки по модулю 16 разберите эти случаи и не забудьте, что переменные можно менять местами.
Если 
— чётно, то 
а если 
– нечётно, то 
Так как 
то 
Значит, ровно одно из 
нечётно
не умаляя общности, возьмём 
а остальные чётны, так как слагаемых всего 
Будем перебирать это нечётное число до 
так как 
(a) Пусть 
тогда
Слева сумма остатков при делении на 
не превышает 
а справа 
следовательно, решений нет.
(b) Пусть 
тогда придём к уравнению
Значит, ровно 
нечетны, а 
— четны. Четные 
не могут быть больше 
так как 
Значит, они равны по
Нечётные 
не могут быть больше 
так как 
значит, все они равны 
Но 
следовательно, решений
нет.
(c) Пусть 
тогда придём к уравнению
Значит, ровно 
нечётных, 
— чётных, следовательно,
Количество решений это количество перестановок чисел в 
то есть
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
