Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Для начала отметим, что делит Это выполнено так как Если то правая часть уравнения делится на откуда следует, что Это не верно так как Следовательно, где Если , то Однако в таком случае 2012 и делятся на и соответственно и не делятся на большие степени Значит или откуда следует, что выполнено одно из уравнений

В обоих случаях простое делит Утверждается, что Это очевидно если или так что будем рассматривать случай и Тогда по малой теореме Ферма. С другой стороны, из следует, что то есть Из этих двух сравнений следует, что что и требовалось доказать.

Таким образом, где Поскольку два уравнения выше принимают вид

Рассмотрим уравнение Утверждается, что если оно выполнено, то откуда Действительно, если то откуда и Это невозможно поскольку Отметим дальше, что если выполнено уравнение то четное. Поэтому также является четным числом, откуда четное. Тогда или Ясно, что у нет целочисленных решений при Если то обращается в Поскольку уравнение принимает вид Однако не кратно Таким образом, уравнение не имеет целочисленных значений.

Из уравнения следует, что поэтому или Также верно, что поэтому только тогда, когда Однако в таком случае из первого двойного неравенства получаем, что что противоречит неравенству Значит и уравнение (2) принимает вид откуда Из условий и получаем, что , Таким образом, является единственным решением исходного уравнения.