Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите множество всех целых значений суммы
где 
и 
— произвольные натуральные числа.
Источники:
Подсказка 1
Пусть сумма из условия равна m, где m - натуральное число (так как х и у натуральные). Для удобства домножим получившееся равенство на 3ху и получим уравнение в натуральных числах. Всё последующее решение задачи — это просто аккуратное рассмотрение делимостей. Например, на что может делиться х?
Подсказка 2
В выражении много троек, проверьте, делится ли х на 3. Это можно сделать от противного.
Подсказка 3
Действительно, х делится на 3, значит можно сделать замену: пусть х = 3z, где z - натуральное число. Подставьте это в равенство и посмотрите какие ещё переменные могут делиться на 3.
Подсказка 4
Верно, либо у, либо z делится на 3. Рассмотрите оба случая и в каждом из них сделайте замену. Тут так же нужно будет подумать, на что могут делиться переменные, и как они относятся друг к другу: может какие-то из переменных делятся на другие?
Пусть 
— натуральное число. Тогда
Если 
не делится на 
, то 
делится на 
. Но в таком случае все члены равенства, кроме 
, делятся на 
, а 
делится только на 
, что невозможно. Значит, 
делится на 
, то есть 
для некоторого натурального числа 
.
Имеем
откуда 
делится на 
или 
делится на 
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пусть 
. Тогда
откуда 
делится на 
. Но в таком случае 
делится и на 
, то есть 
для некоторого натурального 
.
Теперь имеем 
, откуда 
. Ясно, что число 
будет целым только при 
, при этом
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пусть 
. Тогда 
. Как и выше, отсюда следует, что 
делится на 
,то есть 
для некоторого
натурального 
. Теперь имеем 
, откуда 
делит 
, то есть 
. При 
получаем
невозможные равенства
соответственно. При 
число 
, откуда 
— делитель 
, при этом
то есть 
. Следовательно, 
, и тогда 
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
