Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Числа и являются целыми числами, следовательно, каждое из чисел и являются целыми, а значит, и их сумма является целыми числом, таким образом, число также является целым, т.е. число целое, откуда .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть . Тогда делится на 11, поскольку каждое из чисел 2024 и 33 кратно 11, но не делится на , т.к. первое слагаемое кратно , а второе — нет.

Пусть число дает остаток 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 при делении на 11, тогда число дает соответственно остаток 0, 1, 4, 9, 5, 3, 3, 5, 9, 4, 1 при делении на 11. Докажем, что если хотя бы одно из чисел и не делится на 11, то и число не делится на 11.

Предположим обратное, тогда сумма остатков чисел и равна 11, следовательно, ровно одно из чисел и даёт четный остаток при делении 11, а значит, соответствующий квадрат даёт остаток 0 или 4 при делении на 11, но тогда второй остаток равен 0 или 7, что невозможно. Таким образом, каждое из чисел и кратно 11, следовательно, каждое из чисел и кратно , таким образом, кратно , но не кратно .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Тогда или

Пусть . Тогда , следовательно, кратно , а значит, как мы показали выше, каждое из чисел и кратно 11. Пусть , , где и являются целыми числами, следовательно, . Легко убедиться, что всеми решениями данного уравнения являются неупорядоченные пары Следовательно, все пары решений это , .

Пусть . Тогда . Если каждое из чисел и не превосходит по модулю 4, то сумма их квадратов не превосходит 32, следовательно, наибольшее из чисел и по модулю не меньше 5. С другой стороны, если какое-то из чисел по модулю больше 5, то его квадрат не меньше 36, что невозможно. Таким образом, в паре чисел хотя бы одно равно 5 по модулю, тогда второе равно 3 по модулю. Тем самым, мы показали, что все пары решений есть , .