Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Решите уравнение в целых числах
Источники:
Подсказка 1
Тот факт, что у нас есть слагаемое, которое мало на что делится, говорит о том, что его, в теории, можно использовать при доказательстве в смысле рассмотрения делимости на его множители. Давайте, к тому же, заметим, что 2024 кратно 11 и будем рассматривать делимости на 11. Что вы можете сказать про делимость на 11 обеих частей при разных n? А при фиксированном n и разных m, k?
Подсказка 2
Возможные остатки квадратов mod 11 - это 0, 1, 3, 4 5, 9. Какие пары этих остатков в сумме дают 0(нам ведь нужна делимость на 11 левой части)? Только пара 0 - 0. Значит, что оба числа кратны 11, а значит левая часть кратна 11². Всегда ли кратна правая часть 11²? Если нет, то при каких n кратна 11²?
Подсказка 3
При n ≥ 2 первое слагаемое кратно 11², а 33 нет. Значит, кратность может быть только при n = 0 или n = 1. При n = 1, у нас правая часть превращается в 17 * 11². Значит, все таки есть кратность 11, а значит верны наши рассуждения про m и k. Но тогда мы можем представить их в виде 11t и сократить на 11², после чего, довести до ответа. А случай n = 0 - оставляется читателю в качестве упражнения.
Числа 
и 
являются целыми числами, следовательно, каждое из чисел 
и 
являются целыми, а значит, и их сумма
является целыми числом, таким образом, число 
также является целым, т.е. число 
целое, откуда
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пусть 
. Тогда 
делится на 11, поскольку каждое из чисел 2024 и 33 кратно 11, но не делится на 
, т.к. первое
слагаемое кратно 
, а второе — нет.
Пусть число 
дает остаток 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 при делении на 11, тогда число 
дает соответственно остаток 0, 1, 4, 9, 5, 3, 3,
5, 9, 4, 1 при делении на 11. Докажем, что если хотя бы одно из чисел 
и 
не делится на 11, то и число 
не делится на
11.
Предположим обратное, тогда сумма остатков чисел 
и 
равна 11, следовательно, ровно одно из чисел 
и 
даёт четный
остаток при делении 11, а значит, соответствующий квадрат даёт остаток 0 или 4 при делении на 11, но тогда второй остаток равен 0 или 7,
что невозможно. Таким образом, каждое из чисел 
и 
кратно 11, следовательно, каждое из чисел 
и 
кратно 
, таким
образом, 
кратно 
, но 
не кратно 
.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Тогда 
или 
Пусть 
. Тогда 
, следовательно, 
кратно 
, а значит, как мы показали выше,
каждое из чисел 
и 
кратно 11. Пусть 
, 
, где 
и 
являются целыми числами, следовательно, 
. Легко
убедиться, что всеми решениями 
данного уравнения являются неупорядоченные пары 
Следовательно, все пары решений
это 
, 
.
Пусть 
. Тогда 
. Если каждое из чисел 
и 
не превосходит по модулю 4, то сумма их квадратов не
превосходит 32, следовательно, наибольшее из чисел 
и 
по модулю не меньше 5. С другой стороны, если какое-то из чисел по
модулю больше 5, то его квадрат не меньше 36, что невозможно. Таким образом, в паре чисел 
хотя бы одно равно
5 по модулю, тогда второе равно 3 по модулю. Тем самым, мы показали, что все пары решений 
есть 
,
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
