Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Подсказка 1

Сократим каждую из частей на n. Имеем (n-1)!+1=n^{k-1}. Могут ли числа (n-1)! и n^{k-1} иметь общие делители, отличные от 1?

Подсказка 2

Нет. Предположим, что каждое из чисел (n-1)! и n^{k-1} делится на число d>1, тогда 1=n^{k-1}-(n-1)! делится на d, тем самым получено противоречие. Таким образом, числа (n-1)! и n^{k-1} взаимнопросты. Что в этом случае можно сказать про число n?

Подсказка 3

Оно является простым. Действительно, произведение 1*2*...*(n-1) взаимнопросто с n, следовательно, каждый из множителей 1, 2, ...,(n-1) взаимнопрост с n, но если n не является простым, то среди чисел из множества множителей найдется его делитель. Введем новое обозначение n=p и перепишем исходное уравнение в виде p^{k-1}-1=(p-1)!. Каким образом можно разложить левую часть на множители?

Подсказка 4

Имеем p^{k-1}-1=(p-1)(p^{k-2}+p^{k-1}+...+1). Сократив левую и правую часть на p-1, получим p^{k-2}+p^{k-1}+...+1=(p-2)!. До сих пор нам мало известно про число k. По какому модулю можно рассмотреть данное уравнение, чтобы найти естественное условие на k?

Подсказка 5

Рассмотрим полученное уравнение по модулю p-1. Каждое из слагаемых вида p^m сравнимо с 1 по модулю p-1. Таким образом, левая часть сравнима с k-1 по модулю p-1. Правая - с 0. Отсюда получим, что k-1 кратно p-1. Таким образом, k не меньше, чем p. Что данная оценка позволяет понять про исходное неравенство?

Подсказка 6

Наконец, мы получили, что p!+p=p^k⩾p^p, что неверно при достаточно больших p. Осталось найти p, при котором данное неравенство неверно, и разобрать все меньшие случаи.