Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все тройки целых чисел 
такие, что 
Подсказка 1
Заметим, что уравнение является однородным относительно неизвестных (a, b, c), то есть при домножении каждой из них на константу, равенство по прежнему останется верным. Как это можно использовать в решении, если мы хотим показать, что уравнение не имеет решений?
Подсказка 2
Мы можем считать, что числа (a, b, c) взаимнопростые в совокупности. Так, если мы найдем число такое, что оно делит каждое из a, b, c, то приведем к противоречию. Что это за число?
Подсказка 3
Существует ряд модулей, по которым квадраты целых чисел, дают приятные "остатки". Таким, например, является модуль 5. Докажите, что каждое из чисел (a, b, c) кратно 5.
Для начала заметим, что подходит очевидная тройка чисел 
Если 
то получившееся равенство не имеет решений(кроме
тривиального), потому что степени вхождения 
в обе части не будут совпадать. Аналогично, если какая-то другая одна
переменная равна 
Поэтому в дальнейшем рассматриваем ненулевые числа. Теперь давайте доказывать, что других троек не
существует. Предположим противное. Тогда рассмотрим тройку 
такую, что степень вхождения 
в 
минимальная
возможная.
Рассмотрим уравнение по модулю 
Имеем
Квадраты целых чисел могут давать остатки 
и 
по рассматриваемому модулю. Предположим, что никакое из чисел 
не
кратно 
Но тогда
что невозможно. Таким образом, по крайней мере одно из чисел 
кратно 
но тогда 
делит каждое из них.
Наконец, 
кратно 
следовательно, 
кратно 
Но тогда тройка 
так же является решением. Таким
образом, мы получили противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
