Тема . Уравнения в целых числах

Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела уравнения в целых числах

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#97420

Решить в целых числах ( $n$ — фиксированное натуральное число):

n 77 x+ 133y = 210.

Показать ответ и решение

Заметим, что $210 =77+ 133.$ Тогда уравнение можно записать в виде

n−1 77(77 x− 1)=133(1 − y)

n−1 11(77 x − 1)= 19(1− y)

Таким образом, $1− y = 11k$ и $77n−1x− 1 =19k.$ Для $n = 1$ задача решена. Пусть $n≥ 2.$ Тогда $77n−1x= 19k+ 1$ и теперь нужно найти такие $k,$ при которых $19k +1$ делится на $77n−1.$ Это эквивалентно сравнению

n−1 19k ≡− 1 (mod 77 )

Легко видеть, что $φ (77n−1)=60⋅77n−2.$ Тогда по теореме Эйлера имеем

k ≡−1960⋅77n−2−1 (mod 77n−1)

Таким образом, $k= 77n−1t− 1960⋅77n−2−1,t∈ℤ.$ Окончательно получаем

n−2 x= 19(77n−1t− 1960⋅77--−1)+1 77n−1

n−1 60⋅77n−2−1 y =1 − 11⋅(77 t− 19 )

Ответ:

При $n= 1:$ $x =19k+ 1,y =1 − 11k;$ при $n≥ 2:$

$19(77n−1k−1960⋅77n−2−1)+1 x= 77n−1$

$n−1 60⋅77n−2− 1 y = 1− 11⋅(77 k− 19 ),$ где $k∈ ℤ$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse