Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары простых чисел 
и 
таких, что 
Подсказка 1
Раскрытие скобок не приносит хороших результатов, но мы знаем, что спрашивают именно про простые решения, поэтому можно попробовать сказать что-нибудь про делимость. По каким модулям полезно рассмотреть это уравнение?
Подсказка 2
Конечно, по простым модулям из нашего уравнения! Но условия от одного модуля p или q может и не хватить, так что полезно рассмотреть оба модуля. Тогда выразив p и q через друг друга, мы можем попробовать получить какое-то выражение на одно из них.
Сначала рассмотрим тривиальный случай 
Тогда 
то есть 
Пусть теперь 
Рассмотрим уравнение по модулю 
Тогда 
Так как 
и 
различные простые, имеем 
Таким образом,
Подставляем в уравнение!
Рассмотрим вырожденный случай 
Тогда 
Получается, что 
Рассматривая исходное уравнение по модулю 
получаем 
то есть 
Тогда 
что означает, что 
делится на 
и, следовательно, 
При этом
что невозможно. Тогда 
и поэтому верно равенство
Для 
получаем 
и 
Подстановка в уравнение показывает, что это действительно решение.
Для 
имеем 
и 
— не простое число.
Для 
получаем 
— нецелое. Для 
имеем 
поэтому 
что невозможно.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
