Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все пары натуральных чисел 
где 
простое и
Подсказка 1
С суммой большого числа слагаемых в рамках равенства или делимости работать неудобно. Как её можно свернуть?
Подсказка 2
Верно, 1+2+...+n=n(n+1)/2, a 1²+2²+...+p²=p(p+1)(2p+1)/6. Раскрытие скобок даст равенство двух почти произвольных многочленов, но ведь р - простое! Полезно будет рассмотреть уравнение по модулю р.
Подсказка 3
Одно из чисел n, n+1 делится на р, можно рассмотреть два случая: n=pk и n+1=pk. Тогда уравнение можно сократить на p, но дальше возникнет другое уравнение, в котором опять не получается просто раскрыть скобки. Но мы ведь всё ещё знаем остаток по модулю р для k из выражения!
Свернём суммы и домножим на 
Решить нужно 
Одна из скобок слева делится на 
а вторая взаимно
проста с 
Все сравнения по модулю 
Рассмотрим 
случая:
- 1.
-
Пусть
Тогда сократим на 
и подставим: 
Рассмотрим получившееся выражение по
модулю 
— 
Тогда 
Получаем, что 
не подходит, пусть 
Тогда 
а 
поэтому равенство невозможно.
- 2.
-
Пусть
Тогда сократим на 
и подставим: 
Рассмотрим получившееся выражение по
модулю 
— 
Тогда 
Снова получаем, что 
не подходит, пусть 
Тогда
Это уравнение не имеет натуральных корней.
Пусть
Тогда 
Это уравнение имеет корень 
Тогда 
Пусть
Тогда 
и 
Значит, в этом случае решений нет.
Таким образом, получили единственную пару 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
