Выбор модуля и перебор случаев в уравнениях над Z

Свернём суммы и домножим на Решить нужно Одна из скобок слева делится на а вторая взаимно проста с Все сравнения по модулю Рассмотрим случая:

1.

Пусть Тогда сократим на и подставим: Рассмотрим получившееся выражение по модулю — Тогда Получаем, что не подходит, пусть Тогда а поэтому равенство невозможно.

2.

Пусть Тогда сократим на и подставим: Рассмотрим получившееся выражение по модулю — Тогда Снова получаем, что не подходит, пусть
Тогда Это уравнение не имеет натуральных корней.
Пусть Тогда Это уравнение имеет корень Тогда
Пусть Тогда и Значит, в этом случае решений нет.

Таким образом, получили единственную пару