Оценки в уравнениях над Z
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все упорядоченные тройки натуральных чисел 
такие, что все три числа 
— точные
квадраты.
Подсказка 1
Иногда в задачах на проверку существования какой-либо степени числа полезно зажимать данное число между двумя соседними числам, которые являются теми же степенями. Для какого числа получится использовать данный метод?
Подсказка 2
Вид a²+2b+c похож на разложение числа (a+1)². Как это наблюдение можно использовать для оценки данного числа?
Подсказка 3
Давайте для удобства упорядочим числа. Выражения из условия цикличны, так что надо будет разобрать два случая. Пусть a ≥ b ≥ c. Тогда (a+2)² > a²+2b+ c > a². Что в этом случае можно сказать про a²+2b+ c?
Подсказка 4
Оно равно (a+1)². Можно ли получить на аналогичные условия на b или с?
Подсказка 5
Да, (b+1)² = b²+2c+a. Осталось наложить условие на c²+2c+a. Может ли число оно быть (c+5)²?
Подсказка 6
Нет, последнее больше. Осталось разобрать случаи равенства (с+1)², (c+2)², ..., (c+4)². А ещё не забудьте проверить аналогичным образом другое упорядочивание.
Будем считать, что 
Тогда заметим, что 
Также хотим зажать 
сверху. Видно, что
в силу того, что 
явно больше 
Следовательно, 
Также 
из
того, что 
Поэтому
Откуда следует 
и 
Поэтому 
и 
Теперь посмотрим на 
Оно больше или
равно, чем 
при этом равенство достигается при 
Теперь сравним 
и 
Первое из них сильно
больше, поэтому остается проверить, что будет если
где 
После этого перебора и решения линейного уравнения мы получаем, что есть решение 
Также
подойдёт их циклическая перестановка.
Теперь рассмотрим, что произойдёт при другом порядке в цикле: 
Аналогично получаем, что
Рассмотрим 
Также 
поскольку
Тогда получается, что 
будет уже больше нашего выражения. Так что 
Но тогда мы получаем, что
Вспоминая наше упорядочивание, получаем, что равенство возможно только при 
Тогда
Снова приходим к тройке 
Следовательно, ответом будет являться любая циклическая перестановка 
и 
Циклическая перестановка следующих наборов:
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
