Оценки в уравнениях над Z

Заметим, что уравнение симметрично. Без ограничения общности предположим, что Начнём с доказательства, что Заметим, что

Следовательно,

и поэтому

Теперь

и значит,

откуда что даёт

При исходное уравнение имеет вид:

Теперь заметим, что должно быть так как иначе мы бы имели что не имеет решений в натуральных числах, ведь правая часть делится на а левая не делится. Следовательно,

и

что влечёт

и поэтому

Следовательно,

откуда то есть

Теперь для каждого возможного значения при получаем кубическое уравнение для с постоянными коэффициентами:

Единственный случай с целым решением для при — это что приводит к