Оценки в уравнениях над Z

Подсказка 1

Давайте сначала переберем значения b. При 1 нет решений, при 2 можно найти одно решение. А дальше уже не хочется смотреть...и мы начинаем понимать тендецию, что справа будет стоять экспонента от a, а слева - многочлен...Как теперь строго описать этот феномен?

Подсказка 2

Вот давайте теперь предположим, что b хотя бы 3, а a хотя бы 2. Посмотрим на a^b + a + b. Вот пара оценок на помощь: a^b < a^b + a + b < a^b + ab < a^b +ba^(b-2). А как это еще можно оценить так, чтобы справа вышло тоже что-то в степени b?

Подсказка 3

Как (a+1/a)^b! Это проверяется с помощью бинома Ньютона. То есть, вышло что a^b < b^a < (a+1/a)^b. Те, кто рассматривал уравнение вида a^b = b^a знают, что нужно дальше делать) А кто нет, то вот что: приведите эти три функции к почти одинаковому виду, а после посмотрите на скорость роста функции.

Подсказка 4

Прологарифмируем и поделим на ab! выйдет: ln(a+1/a)/a > ln(b)/b > ln(a)/a. Рассмотрите производную функции ln(x)/x и поймете, как она себя ведет. А дальше надо подумать про самое больше число в этой цепочке неравенств...

Подсказка 5

С помощью производной ln(x)/x, можно понять, что нет решений при b ≥ a ≥ 3 и c a = 2, b ≥ 4. Теперь предлагается вот что: можно получить противоречие с тем, что самое наибольшее слагаемое в цепочке - не наибольшее. докажите, что ln(a+1/a)/a < ln(a-1)/(a-1) при a ≥ 4, также с помощью производных)