Оценки в уравнениях над Z

Поделим многочлен на с остатком. Для удобства домножим на всё равно и взаимно просты. При делении мы получим остаток То есть дробь также является целой.

Теперь заметим, что число является целым. Однако взаимно просто с следовательно число целое. То же самое можно сказать про Поскольку задача стала инвариантной относительно перестановки и мы можем считать, что Пусть

Из делимости на следует, что то есть откуда

Если то откуда

Если то Ясно, что выражения слева при любом лежит между и То есть осталось перебрать случаи, когда и

Если , то . Решая неравенство получаем, что . Нам подойдут .

Если , то . Снова получаем ограничение . Перебирая, получаем .

Если , то и , откуда .

Если , то , откуда .

Если , то . Решая неравенство , получаем, что . Нам подойдут .

Не забывая про симметрию относительно переменных, запишем ответ.