Тема ПЛАНИМЕТРИЯ

Треугольники с фиксированными углами → .04 Треугольник с углом в 45 градусов

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела планиметрия

Разделы подтемы Треугольники с фиксированными углами

Прямоугольные треугольники

Треугольник с углом 60 градусов

Треугольник с углом 120 градусов

Треугольник с углом в 45 градусов

Нетабличные углы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#67112

$AA 1$ и $CC 1$ — высоты остроугольного треугольника $ABC,$ в котором $∠ABC = 45∘.$ Точки $O$ и $H$ — соответственно центр описанной окружности и ортоцентр треугольника $ABC.$ Докажите, что прямая $A1C1$ проходит через середину отрезка $OH.$

Показать доказательство

$PIC$

По условию $∠ABC = 45∘,$ а значит, $ΔBCC1$ и $ΔBAA1$ — равнобедренные. Отсюда $A1$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB,$ а $C1$ — на серединном перпендикуляре к $BC.$ Также на обоих перпендикулярах находится точка $O.$ Но тогда $A1O ⊥ AB,$ откуда $A1O ∥C1H.$ Аналогично $C1O∥ A1H,$ откуда $HA1OC1$ — параллелограмм, а значит $OH$ делится $A1C1$ пополам.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#70481

В остроугольном треугольнике $ABC$ с углом $45∘$ при вершине $A$ проведены высоты $AD,$ $BE$ и $CF.$ Луч $EF$ пересекает прямую $BC$ в точке $X.$ Оказалось, что $AX||DE.$ Найдите углы треугольника $ABC.$

Источники: Источник: СпбОШ - 2022, задача 11.2 (см. www.pdmi.ras.ru)

Показать ответ и решение

$PIC$

Из условия следует, что $AF =F C$ . Из вписанностей $∠CDE = 45∘$ , и теперь из параллельности $∠AXD = 45∘$ . В треугольнике $AXC$ точка $F$ оказалась центром описанной окружности (равноудалена от вершин $A$ и $C$ и центральный угол в два раза больше вписанного). Поэтому $2∠ACB = ∠AF X = ∠BF E$ , что вместе со вписанностью $BF EC$ дает $∠ACB = 60∘$