Медианы

Подсказка 1.

Для начала полезно построить контрпримеры к условию и найти, какие отношения при этом могут достигаться. Например, в условии идёт речь об угле CAB. Какое значение угла можно взять, чтобы он был близок к тупому, но всё же не тупым?

Подсказка 2.

Конечно же, прямой! Тогда точка A лежит на окружности с диаметром BC, AD является ее радиусом. Какие отношения может принимать отношение хорды AC к радиусу окружности?

Подсказка 3.

Любая хорда не длиннее диаметра, так что это отношение точно меньше двух. Итак, мы получили какую-то границу. Теперь попробуем доказать, что при отношении в точности 2 условие задачи выполняется.

Подсказка 4.

Медиана вдвое короче стороны, так что удвоением медианы можно получить равнобедренный треугольник. Тогда нетрудно заметить, что требуемые углы как раз получаются острым и тупым.

Подсказка 5.

Теперь осталось построить контрпример для отношения, большего двух. Для этого можно попробовать взять за прямой угол, который должен быть острым.

Подсказка 6.

Чтобы получить нужное неравенство, снова полезно удвоить медиану. Теперь осталось вспомнить, что против большего угла лежит большая сторона.