Медианы
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Медианы 
и 
треугольника 
пересекаются в точке 
. Найдите длину отрезка 
, если 
и известно, что вокруг
четырехугольника 
можно описать окружность.
Источники:
Подсказка 1
Назовём третью медиану CN. Заметим, что LM — средняя линия △АВС. Поотмечайте вытекающие из этого равные углы. Также отметьте доступные Вам равенства во вписанном четырёхугольнике KLСМ.
Подсказка 2
Удаётся ли заметить что-нибудь интересное? Например, подобные треугольники. Рассмотрите внимательно △AKN и △ANC, сколько у них пар соответственно равных углов?
Подсказка 3
Запишите отношения соответственных сторон в подобных треугольниках. Какие-то стороны Вы знаете, в других Вам известно лишь отношение — Вы ведь знаете, в каком соотношении медианы делятся точкой пересечения. Осталось лишь найти из получившегося равенства искомый отрезок!
Первое решение.
Пусть оставшаяся медиана 
пересекает сторону 
в точке 
тогда 
Отметим равные углы, используя
параллельность 
(средняя линия) и вписанность 
. Далее воспользуемся подобием 
(у них пара равных
углов по две дужки и один общий):
Так как 
то 
Второе решение.
Пусть при гомотетии с центром в точке 
и коэффициентом 
точка 
переходит в точку 
тогда 
а по свойству
центроида 
где 
— середина 
Описанная окружность треугольника 
переходит в описанную окружность треугольника 
по теореме о пересекающихся
хордах в получившейся окружности
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
