Высоты
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
проведены высоты 
и 
Точки 
и 
— основания перпендикуляров, опущенных на
прямую 
из точек 
и 
соответственно. Докажите, что 
.
Источники:
Подсказка 1
Мы провели две высоты. У нас получился четырёхугольник AEDC. Что о нём можно сказать?
Подсказка 2
Верно, он является вписанным. К тому же центр описанной окружности — это середина AC, так как AC диаметр. Давайте теперь посмотрим, какая фигура у нас получилась из построения? А какое дополнительное построение тогда напрашивается из нынешней подсказки?
Подсказка 3
Ага, это же прямоугольная трапеция, в которой мы можем провести среднюю линию OK. Выходит, MK=KN. А середина AC (пусть О) - тот самый центр нашей окружности. Зная, что OK перпендикуляр к NM и факт из прошлого предложения, какой вывод можно ещё сделать?
Подсказка 4
Верно, OK будет ещё медианой в треугольнике OED, так как OE=OD, как радиусы. Теперь только осталось вспомнить, что за дополнительное построение у нас было, и победа!
Так как 
, то четырехугольник 
вписанный. Далее можно рассуждать по-разному.
Первое решение.
По свойству вписанного четырехугольника (см. рис.)
Тогда, используя прямоугольные треугольники 
и 
, получим
Аналогично,
Следовательно, 
.
Замечание. Отметим, что использованные равенства углов можно получить из подобия треугольников 
и 
, которое, в свою
очередь, можно получить из подобия треугольников 
и 
(если не использовать окружность).
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Воспользуемся тем, что центром окружности, описанной около 
, является середина 
стороны 
. Так как треугольник
равнобедренный, то его высота 
является и его медианой, те есть 
(см. рис.). Прямые 
и 
перпендикулярны прямой 
, поэтому параллельны друг другу. Из того, что 
по теореме Фалеса следует, что 
.
Тогда
Замечание. В этом способе решения необязательно “напрямую” использовать окружность. Равенство 
следует из того, что
эти отрезки являются медианами прямоугольных треугольников с общей гипотенузой, проведёнными к ней.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
