Параллелограмм
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На диагонали 
параллелограмма 
отмечена точка 
не лежащая на диагонали 
На луче 
взята такая точка 
что 
Через точку 
провели прямую, параллельную стороне 
она пересекла сторону 
в точке 
Затем через точку 
провели прямую, параллельную стороне 
она пересекла прямую 
в точке 
Найдите угол
Источники:
Подсказка 1
Для начала обозначим различные точки пересечений, например, T — пересечение AB и SQ, M b N — пересечение AD и BD с QR. Были проведены параллельные прямые, не образовалось ли у нас параллелограммов? Что можно сказать об отрезках на их сторонах?
Подсказка 2
ATQM и BTQR — параллелограммы! Какие равенства имеют место быть?
Подсказка 3
MT = TB = QR! Нас просят найти угол PRS, поэтому хотелось бы сказать что-то про треугольники, находящиеся рядом с ним. У нас образовалось немало равных углов и сторон, быть может, поищем подобные треугольники?
Подсказка 4
Попробуем воспользоваться найденным равенством MT = QR и построить подобные треугольники, содержащие эти стороны.
Подсказка 5
Про R нас спрашивают в задаче, поэтому поработаем со стороной MN и проведем через P прямую, параллельную ей. Что можно сказать об образовавшихся отрезках на сторонах параллелограмма и треугольниках?
Подсказка 6
DKP и DMN подобны! Что тогда можно сказать о треугольниках LPS и QRS?
Первое решение.
Пусть 
- точка пересечения прямых 
и 
, а прямая 
пересекает отрезки 
и 
в точках 
и 
соответственно.
Так как 
— параллелограмм, отрезок 
проходит через точку 
и делится в ней пополам. Значит, 
откуда
Обозначим через 
и 
середины отрезков 
и 
соответственно. Треугольники 
и 
равны по стороне и двум
углам, что дает 
В силу подобия треугольников 
и 
Поэтому треугольники 
и 
подобны, и мы получаем 
Таким образом, точки 
и 
лежат на одной
прямой.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение.
Пусть 
и 
— точки пересечения диагоналей параллелограммов 
и 
соответственно. Так как 
отрезок
— средняя линия треугольника 
Поэтому
Тогда четырёхугольник 
является параллелограммом, откуда 
. Треугольники 
и 
подобны, поскольку их
соответствующие стороны параллельны. Следовательно,
Поэтому треугольники 
и 
также подобны и, значит, 
Таким образом, прямая 
параллельна 
а по
доказанному выше она параллельна и 
Поскольку у прямых 
и 
есть общая точка 
они совпадают, откуда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
