Параллелограмм
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан параллелограмм 
такой, что 
Пусть 
и 
— середины сторон 
и 
соответственно. Оказалось, что точки
лежат на одной окружности. Найдите 
Источники:
Подсказка 1
Давайте попробуем понемногу раскручивать задачу. В планиметрии важно, что если есть какие-то не связанные между собой объекты, то надо их связать, потому что иначе работать с ними будет тяжело. Поэтому какой отрезок здесь у нас связан с картинкой минимально? Как можно это исправить?
Подсказка 2
Верно, PQ почти никак не причастен к конструкции. Давайте продлим его на такое же расстояние до пересечения с AD в точке T. Получим известную конструкцию с параллелограммом. Тогда наш искомый уголок можно перекинуть, и тогда нужно найти ∠ATP = ∠ADB. Какой ещё факт можно вспомнить теперь с точкой T, ещё учитывая вписанный четырёхугольник? А какие углы будут у него?
Подсказка 3
Да, мы ведь можем записать теорему о равенстве произведений отрезков секущих. То есть на самом деле мы можем выразить сторону PT через AT. Также ∠APT = 60 из вписанности. Получается, на самом деле в треугольнике APT мы знаем один из углов и две стороны. Остаётся только найти угол ATP любым удобным способом. Например, можно опустить высоту из T и найти неизвестный угол как сумму двух составляющих.
Пусть 
— середина стороны 
Продлим луч 
до точки 
такой, что 
Так как диагонали четырёхугольника
пересекаются в своих серединах, это параллелограмм; отсюда получаем, что точка 
лежит на прямой 
и 
Отметим, что 
— параллелограмм (
равен и параллелен 
поэтому искомый 
С другой стороны, из
вписанности 
имеем
Кроме того, 
— средняя линия 
и параллельна сторонам 
и 
откуда получаем 
Значит, треугольники 
и 
подобны по двум углам. Тогда 
то есть 
Введём масштаб длин на чертеже так, чтобы отрезок 
имел длину 
тогда 
и 
а 
Мы знаем
один из углов треугольника 
и две его стороны; теперь можно воспользоваться любым из известных методов, чтобы
вычислить остальные его элементы (включая искомый угол 
Например, опустим высоту 
на прямую 
Так как 
отрезки 
и 
окажутся по разные стороны от прямой 
В прямоугольном треугольнике
гипотенуза равна 
а угол напротив катета 
равен 
то есть сам катет равен 
Теперь ясно, что
прямоугольный треугольник 
равнобедренный, так как отношение гипотенузы к катету в нём равно 
Получаем
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
