Параллелограмм
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан выпуклый четырехугольник 
Описанная окружность треугольника 
пересекает стороны 
и 
в точках 
и 
соответственно. Описанная окружность треугольника 
пересекает стороны 
и 
в точках 
и 
соответственно.
Оказалось, что четырехугольник 
— параллелограмм. Докажите, что и четырехугольник 
— параллелограмм.
.jpg)
Источники:
Подсказка 1
Для начала, как и всегда в геометрии, стоит сделать аккуратных чертёж, с которым удобно работать! На что нам намекают окружности, когда нет никаких явных значений длин и почти нет их соотношений?
Подсказка 2
С отрезками работать не особо тут продуктивно, значит будем смотреть на углы! Поотмечайте всякие равные вписанные уголочки. Удаётся ли заметить таким образом пары параллельных прямых?
Подсказка 3
Параллельности, конечно, есть, но пока не те что нам нужны. Что же ещё может нам помочь? Пока мы не использовали тот факт, что внутренний четырёхугольник — параллелограмм!
Подсказка 4
Параллелограмм и параллельности дают нам красивую симметрию! Посмотрите внимательно на точку пересечения диагоналей параллелограмма и задача будет решена.
Заметим, что 
по свойствам вписанных углов, откуда 
Аналогично, 
Следовательно,
симметрия относительно точки пересечения диагоналей параллелограмма 
переводит треугольник 
в треугольник 
, в
частности, 
отображается в 
. Тогда точка пересечения прямых 
и 
переходит в точку пересечения симметричных им прямых
и 
т. е. 
переходит в 
Таким образом, четырехугольник 
симметричен относительно той же точки, и значит,
является параллелограммом.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
