Средняя линия четырёхугольника и прямая Ньютона

Важная лемма о центроиде. Центроид четырехугольника является серединой отрезка, соединяющего середины его диагоналей.

Первый способ доказательства. Пусть  — данный четырехугольник, а  — середина отрезка (для всех пар индексов). Тогда  — средняя линия треугольника поэтому Аналогично поэтому Таким же образом доказывается параллельность и Значит,  — параллелограмм, тем самым середина отрезка лежит на прямой Аналогично, середина лежит на прямой таким образом, эта середина является центроидом. Утверждение доказано.

Второй способ доказательства. Пусть у четырёхугольника точки — середины . Пусть — середины Для центроида выполнено поскольку — параллелограмм. Заметим, что а также откуда Тогда уже для — середины получаем

Отсюда Утверждение доказано.

Решение. Проведем диагонали пусть соответственно — их середины. По Важной лемме о центроиде середины отрезков и есть центроиды четырехугольников Итак, — соответственно середины отрезков

Из равенства отрезков и следует равенство дуг, откуда отсюда и равноудалены от Тогда — серединный перпендикуляр к Так как как средняя линия, то Аналогично значит, — ортоцентр треугольника