Вписанные углы и счёт углов в окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Высоты 
остроугольного треугольника 
пересекаются в точке 
Биссектриса угла 
пересекает отрезок 
в
точке 
биссектриса угла 
пересекает отрезок 
в точке 
Обозначим величину угла 
через 
Аналогично определим
и 
Найдите значение суммы 
Источники:
Подсказка 1
Идея решения такая. Каждый из этих трёх углов — сумма углов, которые образуют его стороны с высотой. Давайте разобьём эти уголки на пары, чтобы в каждой сумма углов была 90°.
Подсказка 2
Пусть биссектрисы углов ABH и BCH пересекают AH в P и Q. Докажите, что углы PC₁H и AB₁Q равны. Для остальных пар будет аналогично.
Подсказка 3
Пусть K и L — точки пересечения описанных треугольников BHP И CHQ с AB и AC. Попробуйте доказать, что четырёхугольники KBHP и LCHQ подобны. Тогда диагонали C₁P и QB₁ буду образовывать равные углы со сторонами AB и AC.
Подсказка 4
Чтобы доказать из подобие, докажите подобие их элементов -—треугольников KPH и HQL, а также KC₁H и HB₁L.
Обозначим точки пересечения биссектрис углов 
и 
с отрезком 
через 
и 
соответственно. Докажем,
что
Из этого будет следовать решение задачи — сумма из условия разбивается на три пары углов с суммой 
, то есть искомая сумма будет
равна 
Первый способ. Так как 
то и 
поэтому
Следовательно, прямоугольные треугольники 
и 
подобны по двум углам, поэтому
Как известно, треугольники 
и 
подобны треугольнику 
а, следовательно, подобны друг другу.
Отсюда
Из равенств (1) и (2) следует, что
Как известно, 
поэтому треугольники 
и 
подобны по углу и отношению прилежащих сторон,
откуда 
Тогда
что и требовалось доказать.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второй способ. Пусть 
— точка, изогонально сопряжённая 
относительно треугольника 
Так как
то точки 
и 
— соответствующие точки в подобных треугольниках 
и 
Тогда 
что и
требовалось доказать.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Третий способ. Пусть 
и 
— точки пересечения описанных окружностей треугольников 
и 
с прямыми 
и 
соответственно. Так как четырёхугольник 
вписанный, то
Так как четырёхугольник 
вписанный, то
Таким образом, треугольники 
и 
подобны по двум углам. Поскольку четырёхугольник 
вписанный, то
поэтому
Таким образом, прямоугольные треугольники 
и 
подобны по двум углам. На гипотенузах 
и 
подобных треугольников 
и 
построены соответствующим образом подобные треугольники 
и 
Следовательно, полученные четырёхугольники 
и 
подобны. Тогда диагонали 
и 
образуют
одинаковые углы с соответствующими сторонами 
и 
то есть 
что и требовалось доказать.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
