Вписанные углы и счёт углов в окружности
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Остроугольный неравнобедренный треугольник 
вписан в окружность 
с центром в точке 
его высоты пересекаются в точке 
Через точку 
проведена прямая, перпендикулярная 
а через точку 
— прямая, перпендикулярная 
Докажите, что
точки пересечения этих прямых со сторонами 
и 
лежат на одной окружности, которая касается окружности
Источники:
Подсказка 1.
Для начала докажем, что эти 4 точки лежат на одной окружности счётом углов. Какие существуют способы доказательства касания двух окружностей?
Подсказка 2.
Основным способом является угадывание точки касания. У неё должен быть какой-то способ построения, поэтому есть смысл рассмотреть частные случаи, чтобы понять побольше про него.
Подсказка 3.
Например, разберите случаи AB=AC и ∠B=90°.
Подсказка 4.
В случае AB=AC видим, что точка касания лежит на AH, причём она совпадает или с A, или с диаметрально противоположной A. В случае же ∠B=90° получаем, что точка касания лежит на AH (даже совпадает с H), причём не совпадает с A. На какую мысль это может натолкнуть?
Подсказка 5.
Хочется выдвинуть гипотезу того, что точка касания D — второе пересечение AH с описанной окружностью ABC. Тем более у неё есть множество хороших свойств.
Подсказка 6.
Сначала докажем, что D лежит на искомой окружности. Заметим, что A и D симметричны относительно XY, H и D симметричны относительно BC. Отсюда можем получить различные равенства углов.
Подсказка 7.
Получим, что ∠XYD = ∠BHD, тогда остаётся доказать, что BZHD вписан. Сделайте это несложным счётом углов.
Подсказка 8.
А теперь докажите, что описанная окружность DXY касается описанной окружности ABC, учитывая, что D и A симметричны относительно XY.
Пусть прямая 
повторно пересекает окружность 
в точке 
Тогда прямая, проведённая по условию через 
— серединный
перпендикуляр к хорде 
пусть она пересекает стороны 
и 
в точках 
и 
а прямая через 
из условия задачи пересекает
их в точках 
и 
Поскольку 
то окружность 
касается окружности 
в точке 
При симметрии относительно
окружность 
переходит в себя, а окружность 
переходит в окружность 
тогда она тоже касается окружности
.png)
Поскольку 
то
Следовательно, четырёхугольник 
— вписанный. Тогда
Значит, в силу сказанного выше,
поэтому точка 
лежит на окружности 
Аналогично, на этой окружности лежит и точка 
откуда и следует
требуемое.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание. Можно рассуждать несколько иначе: установить (похожими равенствами углов), что точки 
лежат на одной
окружности, а также что окружности 
и 
касаются окружности 
в точке 
Однако эти три окружности не могут быть
различными, поскольку в таком случае их радикальные оси не пересекаются в одной точке, в чём нетрудно убедиться. Значит, все эти
окружности совпадают, что нам и требовалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
