Вписанные углы и счёт углов в окружности
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник 
с острым углом 
такой, что 
На сторонах 
и 
вне треугольника построены квадраты
и 
с центрами 
и 
Оказалось, что точки 
и 
лежат на одной окружности 
с центром 
Доказать, что
точка 
пересечения прямых 
и 
лежит на окружности 
Источники:
Подсказка 1
Если после того, как вы нарисовали рисунок, вам показалось, что DF- диаметр нашей окружности, то вы на верном пути! Попробуйте для начала понять, как связана точка I, центр описанной окружности треугольника △ABC, с точкой O, а потом придумаем что-нибудь с DF.
Подсказка 2
Мы знаем, что I- точка пересечения серперов к AB и AC, а O- точка пересечения серперов к DE и FG. Но тогда I=O. Мы хотим, чтобы DF оказался диаметром. Давайте докажем, что E, A и F лежат на одной прямой...
Подсказка 3
Если это не так, то EA пересекает нашу окружность в точке T, отличной от F. Продлим прямые FC и DB до пересечения в точке Z. Посмотрите на точку O и подумайте, каким является четырехугольник DATZ...
Подсказка 4
Т.к. O является одновременно серединой AZ и DT ⇒ DATZ- параллелограмм ⇒ TZ=AD и ∠ATZ=45°. Что мы можем сказать про четырехугольник AFTZ?
Подсказка 5
Он вписан, ведь ∠AFZ=∠ATZ=45°. Отрезки OF и OT равны как радиусы. Тогда O лежит на серпере к AZ и на серпере к FT. Что это нам дает?
Подсказка 6
Если эти серперы не совпадают, то O- центр описанной окружности AFTZ, что противоречит тому, что ∠ATZ=45°. Тогда они совпадают ⇒ AFTZ- равнобокая трапеция. На какое противоречие с условием это нас наводит?
Подсказка 7
Если это так, то AD=ZT=AF ⇒ AB=AC, что не так. Ура!! Мы доказали, что наше предположение неверно, а это значит, что E, A и F лежат на одной прямой. Аналогично G, A и D лежат на одной прямой. Тогда для полного счастья нам осталось лишь доказать, что ∠EMG=∠EDG=45°...
Подсказка 8
Посмотрим на четырехугольник KALM: ∠AKM=∠ALM=90°. Тогда ∠EMG=180°-∠KAL. Докажите, что ∠KAL=135° и наслаждайтесь победой!
Заметим, что 
— точка пересечения сер. перп. к 
, 
, но 
и 
— точка пересечения сер. перп. к 
и
— центр описанной окружности 
.
Докажем, что 
, 
и 
лежат на одной прямой.
Пусть это не так, тогда 
пересекает нашу окружность в точке 
, отличной от 
. Продлим прямые 
и 
до пересечения в
точке 
.
Т.к. 
является одновременно серединой 
(
и 
с коэффициентом 2) и
— диаметр) 
— параллелограмм, тогда 
и 
—
вписанный. Отрезки 
и 
равны как радиусы. Тогда 
лежит на сер. перп. к 
и на сер. перп. к 
.
Если эти сер. перп. не совпадают, то 
— центр описанной окружности 
, что противоречит тому, что 
. Тогда они
совпадают 
— равнобокая трапеция.
Если это так, то 
, что не так. Значит, наше предположение неверно, и 
, 
и 
лежат на одной
прямой. Аналогично 
, 
и 
лежат на одной прямой.
Рассмотрим четырехугольник 
: 
— вписанный 
, но
и 
— вписанный 
лежит на окружности
.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
