Вписанные углы и счёт углов в окружности
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В окружность вписан четырёхугольник 
Лучи 
и 
пересекаются в точке 
лучи 
и 
— в точке 
Биссектриса
угла 
пересекает отрезки 
и 
в точках 
и 
биссектриса угла 
пересекает отрезки 
и 
в точках 
и 
Докажите, что 
— ромб.
Подсказка 1
Давайте доказывать, что в четырёхугольнике KLMN диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Начнём с угла, пересечение KL и MN обозначим за X и посчитаем ∠PXQ.
Подсказка 2
Например, ∠PXQ можно посчитать из четырёхугольника QBPX, в котором все углы, кроме ∠PXQ, можно выразить через четыре дуги AB, BC, CD, DA окружности. Осталось понять, почему диагонали KLMN делятся точкой пересечения пополам.
Подсказка 3
В самом деле, мы получили, что в треугольниках KQM и NPL биссектрисы являются высотами, а это, значит, треугольники равнобедренные, следовательно QX и PX также являются их медианами, а значит X — середина KM и середина NL, что нам и требовалось.
Для начала покажем, что диагонали 
перпендикулярны. Обозначим точку их пересечения через 
а дуги 
и 
через 
и 
Тогда углы 
и 
равны по 
а углы 
и 
по 
Угол 
равен 
а значит, угол
равен 
Теперь нетрудно проверить с помощью суммы углов четырехугольника 
что угол 
прямой.
Нетрудно заметить, что треугольники 
и 
равнобедренные, а значит, 
и 
точкой 
делятся
пополам.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
