Вписанные углы и счёт углов в окружности

Первое решение.

Обозначим точку пересечения перпендикуляров, опущенных из точек и на прямые и соответственно, через , а точки, симметричные и относительно прямых и , через и . Тогда прямые и — cерединные перпендикуляры к отрезкам и , поэтому достаточно доказать, что четырёхугольник — вписанный.

Заметим, что и содержат средние линии треугольников и , параллельные сторонам и соответственно. Значит,

Четырёхугольник вписан в окружность, построенную на как на диаметре, поэтому по свойству вписанных углов. При этом . Значит, четырёхугольник вписанный.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Второе решение.

Обозначим точку пересечения перпендикуляров, опущенных из точек и на прямые и соответственно, через , а точку пересечения высот треугольника — через .

Тогда заметим, что треугольники и подобны по двум углам. Действительно, . Аналогично, выполнено равенство . Также заметим, что коэффициент подобия этих треугольников равен , поскольку .

Опустим из перпендикуляр на . Тогда из доказанного подобия следует, что т. е. . Следовательно, а значит, лежит на серединном перпендикуляре к отрезку , откуда следует требуемое.