Вписанные углы и счёт углов в окружности
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружности 
и 
пересекаются в точках 
и 
, центр 
окружности 
лежит на окружности 
. Хорда 
окружности 
пересекает окружность 
в точке 
. Оказалось, что 
лежит внутри треугольника 
. Докажите, что отрезки 
и 
перпендикулярны.
Подсказка 1
Проведите отрезки OB, OC и AB. Каким является треугольник BOC? Две его стороны являются чем-то хорошим в окружности...
Подсказка 2
Действительно, треугольник BOC − равнобедренный. Нужно доказать, что OD принадлежит высоте, проведенной к основанию BC. Но высота в этом треугольнике является и биссектрисой. Давайте доказывать равенство углов BOD и COD. Какому углу равен вписанный в окружности S2 угол BOD?
Подсказка 3
BOD = BAD, ведь они опираются на дугу BD. А теперь посмотрите на окружность S1 − каким является угол BAD (то же самое, что угол BAC) в этой окружности? Чему он равен?
Подсказка 4
Он равен половине градусной меры дуги BC. А каким является угол BОC в этой окружности? Чему он равен?
Подсказка 5
Он равен градусной мере дуги как центральный угол. Так получается, что угол BOC в два раза больше угла BOD. Значит, OD делит угол пополам, точка D лежит на биссектрисе, а значит, и на высоте − задача решена!
Проведем отрезки 
Заметим, что 
равнобедренный, следовательно, необходимо доказать, что прямая 
содержит
высоту, опущенную к основанию 
Докажем, что прямая 
содержит биссектрису 
тогда отсюда будет следовать утверждение задачи. Таким образом,
необходимо доказать, что 
Заметим, что вписанные углы окружности 
опирающиеся на одну и ту же дугу 
равны:
С другой стороны, 
он же 
, — вписанный угол окружности 
опирающийся на дугу 
следовательно,
Так как 
— центральный угол окружности 
опирающийся на дугу 
то
Отсюда имеем:
Следовательно, 
— часть биссектрисы равнобедренного треугольника 
а следовательно, и часть высоты.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
