Касание с окружностью и касание окружностей

Обозначим за и центры описанной и вписанной окружностей треугольника соответственно. Пусть точки — центры окружностей , Обозначим также за и радиусы окружностей и соответственно.

Заметим, что расстояния от точек и до прямой равны а значит, прямая параллельна прямой Аналогично и Прямые являются биссектрисами углов треугольника поэтому они пересекаются в точке

Так как окружности и касаются, то Следовательно, отрезки равны, то есть точка является центром описанной окружности треугольника

Рассмотрим гомотетию с центром в точке которая переводит точку в точку При этой гомотетии точки и переходят в точки и соответственно. Тогда центр описанной окружности треугольника переходит в центр описанной окружности треугольника то есть точка переходит в точку

Таким образом, точка лежит на отрезке что и требовалось.