Касание с окружностью и касание окружностей
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Две окружности, радиусы которых относятся как 
к 
касаются друг друга внутренним образом. В большей окружности
проведены две равные хорды, касающиеся меньшей окружности. Одна из этих хорд перпендикулярна отрезку, соединяющему центры
окружностей, а другая нет. Найдите угол между этими хордами.
Подсказка 1
Для начала стоит построить корректную картинку: будет ли центр большей окружности располагаться внутри внешней? Почему? Заметим ещё одну интересную вещь: вместо угла между прямыми можно искать угол между перпендикулярами к этим прямым (обоснуйте это!) и в данной задаче так поступить будет проще, поскольку перпендикуляры так или иначе связаны с радиусами!
Подсказка 2
Пусть О₁ — центр большей окружности, О₂ — центр меньшей. Что интересного мы знаем про равные хорды и расстояние до них от центра окружности? Найдите расстояние от О₁ до наших хорд (выразите его через радиусы окружностей), оно чуть позже нам пригодится :)
Подсказка 3
Проведём из О₂ радиус О₂Q перпендикулярный второй хорде (этот радиус не должен лежать на линии центров окружностей). Из точки О₁ опустим перпендикуляр О₁Н на О₂Q. Искать будем ∠О₁О₂Н.
Подсказка 4
При помощи найденного выше расстояния и радиусов выразите НQ, O₂Н и О₁О₂. Осталось поработать с прямоугольным треугольником и аккуратно вычислить косинус искомого угла, ну и, соответственно, сам угол!
.png)
Поскольку равные хорды окружности равноудалены от её центра, то
Опустим перпендикуляр 
на 
Заметим, что
поэтому 
Это означает, что точка 
лежит на отрезке 
, поскольку 
, то есть
лежит на биссектрисе меньшего угла между хордами, откуда 
— острый и высота из точки 
не попадёт на продолжение
стороны.
Тогда
Значит,
Итак, угол между хордами равен углу между перпендикулярами к этим хордам и равен
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
