Касание с окружностью и касание окружностей

Первое решение.

Достаточно показать, что для этих двух окружностей касательная в точке общая. Тогда проведем касательную в этой же точке к окружности, описанной около пусть она пересекает продолжение стороны в точке Из свойства касательной имеем:

Из прямоугольного треугольника по теореме о сумме углов треугольника получим, что Тем самым мы доказали верность равенства а это означает, что проведенная касательная также является касательной к описанной около треугольника окружности.

Второе решение.

Пусть и — центры окружностей, описанных около треугольников и соответственно. Проведем — высоту из точки в треугольниках и .

Вспомним одно из свойств ортоцентра: где — центр описанной около треугольника окружности.

Докажем, что и лежат с точкой на одной прямой, тем самым докажем, что окружности касаются внутренним образом в точке .

а по свойству ортоцентра для треугольника . Следовательно, значит лежит на одной прямой с , так как по свойству ортоцентра для треугольника .