Касание с окружностью и касание окружностей

Первое решение.

Посмотрим при каких условиях окружность касается параболы. Пусть есть окружность радиуса с центром в точке , — точка касания окружности и параболы. Проведем касательную . Тогда .

Проведем через точку прямую, параллельную оси ( — точка пересечения прямой и оси ). Тогда . Значит, , но , так как — касательная в точке .

Значит, . Тогда по теореме Пифагора получаем, что .

Теперь рассмотрим случай с двумя окружностями

Пусть и . Тогда

Также знаем, что

Из (1) и (2) получаем

Второе решение.

Пусть — координаты центра первой окружности. Тогда — координаты центра второй окружности, где — искомый радиус.

Запишем систему уравнений для первой (1) и второй (2) окружности. Первое уравнение – пересечение окружности и параболы. Второе — условие касания

Получаем, что

Так как , то нам подходит только