Касание с окружностью и касание окружностей
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность, вписанная в угол с вершиной 
касается его сторон в точках 
и 
— произвольная точка на меньшей из двух дуг
этой окружности. На прямой 
взята точка 
такая, что прямые 
и 
параллельны. Пусть 
— точка пересечения
окружности 
описанной около треугольника 
с прямой 
отличная от 
Докажите, что прямая 
касается окружности
Подсказка 1
В задаче есть какие-то углы. Никогда не бывает лишним поотмечать уголочки. Можно заметить вписанность, коллинеарность, подобие. Найдите что-нибудь из этого в этой задаче.
Подсказка 2
Оказывается, что можно понять многое счетом углов. Докажите, что ABMO - вписанный, BKM - равнобедренный. Поймите, как перейти от равнобедренности к касанию.
Подсказка 3
Касательная в вершине равнобедренного треугольника имеет понятное направление. Тогда нужно доказывать, что OM || BK. Поймите это, посчитав углы.
Первое решение. Заметим, что прямые 
и 
антипараллельны в углу, который образован прямыми 
и 
а значит,
прямые 
и 
антипараллельны в нем же, то есть четырёхугольник 
— вписанный.
Пусть прямая 
повторно пересекает окружность 
в точке 
Из вписанности четырёхугольника 
следует, что прямые
и 
антипараллельны в углу, образованном прямыми 
и 
но в этом же углу прямые 
и 
также
антипараллельны, следовательно, прямая 
параллельна прямой 
Теперь рассмотрим угол 
В нём прямые 
и 
антипараллельны, а значит, прямые 
и 
тоже антипараллельны,
что эквивалентно касанию прямой 
и окружности 
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второе решение. Покажем, что 
лежит на окружности 
Действительно, 
откуда имеем
требуемое.
Докажем, что 
Пусть 
— точка, диаметрально противоположная точке 
в окружности 
Тогда
Тогда, поскольку 
— центр описанной окружности 
следовательно,
Кроме этого, 
в силу вписанности четырехугольника 
Таким образом, треугольник 
подобен
треугольнику 
следовательно, является равнобедренным.
Наконец, 
— биссектриса внешнего угла 
поскольку 
— центр дуги 
окружности 
следовательно, 
то есть, поскольку 
— середина дуги 
окружности 
прямая 
касается 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
